benford'un savı, birinci-tamsayı savı olarak da anılır. buna göre birçok pratik gerçek hayat verileri kaynakları bir seri sayı listesi olarak verilirse en kullanılan ilk rakkam (1/3 olasılıkla) 1'dir ve diğer ilk rakkamlara gelince kullanılan tamsayılarin değerlerinin olasılığı gidikçe azalma gösterir. örnegin ilk sayının 9 olması olasılığı 1/20den daha küçükdür. bu ifadenin dayandığı açıklama nedeni pratik gerçek dünya ölçümlerinin genellikle logaritma olarak dağıldığı ve bunun bir sonucu olarak genel olarak pratik gerçek dünyada ölçme suretiyle ele geçen değerlerin logaritmalarının dağılımının genel olarak tekduze dağılım olduğudur.
bu beklenmedik ve ilk bakışta pek mantikî görünmeyen sonuç çok genis alanda sayısal verilere uygulanabilmektedir. örnegin elektrik kullanım faturaları, sokak adres numaraları, hisse senedi fiyatları listeleri; ölüm hadleri; nehir uzunlukları; fiziksel sabitler ve matematik sabit değerler ve (doğada çok olarak gözlemlenebilen) güç savları tarafından açıklanabilen sürecler benford'un savına uyma göstemektedir. daha saşırtıcı ve daha mantıksal olmaktan ayrılan taraf, bu sonucun verilerin sayı bazının değiştirilmesi halinde bile (oranların değişmesine rağmen) geçerli olmasıdır.
bu savın adı, bu savi 1938de ortaya koyan fizikçi frank benford anılarak konulmuştur. gercekte, bu savın açıkladığı olaylar ilk defa 1881de simon newcomb tarafından "note on the frequency of use of the different digits in natural numbers (doğal numaraların değişik sayısal ifadesinin kullanış sıklığı hakkında not) adlı makalede açıklanmıştır. bu savın en matematiksel açıklaması ve matematiksel isbatı 1988de theodore p. hill yapılmıştır.
daha kesin olarak, benford'un savı, başlangıç tam-sayısı olan '(eğer b≥ 2 ise) b bazında d sayısının (yani d ∈ {1, …, b − 1} ) ortaya çıkmasının
logb(d + 1) − logbd = logb((d + 1)/d)
değerine orantılı bir olasılıkla olduğunu ileri sürmektedir.
eğer d ilk tam-sayı ve p ise olasılık ise, 10 bazi] ile verilen veri ilk rakkamların dağılımı, benford'un savına göre şöyle olacaktir:
d p
1 30.1%
2 17.6%
3 12.5%
4 9.7%
5 7.9%
6 6.7%
7 5.8%
8 5.1%
9 4.6%
buna dayanılarak ilk iki tamsayı hakkında şöyle bir kural ortaya atılabilir: her veri için ilk iki rakkam ihtiva eden blokun meydan çıkma olasılığı 'n ye eşittir ve n = 10, …, 99
log100(n + 1) − log100(n)
olur. ilk sıfır içermeyen üç rakkamdan oluşan blokların ve daha uzun olan blokların olasılıkları da benzer şekilde ortaya çıkaratılabilir. (gerçekten, b bazında p tane ilk rakkam benford'un savı sonucu bp bazında olan birinci ilk rakkamlar iıin benford'savının sonucunu hemen takip ederler.)
bu savın neyi açıkladığı şöyle de anlatılabilir: herhangi bir rakkam 10'un bir üssü ve bir m (eğer 1≤m<10) değerde bir mantis (mantissa) ile çarpımı olarak yazılabilir. benford'un savı doğru ise verinin mantislerinin dağılımı bir 1/x dağılımı gösterecektir. birçok kişi bu prensipin sonucu olarak eldeki (normalize edilmeyen) veri rakkamların dağılımın da aynı dağılımı göstermesi gerektiğine yanlış olarak inanmaktadırlar. benford'un savı yanlızca mantis dağılımının (1den 10a sınırlanmış olarak) benford savına göre dağılmasına ilişkilidir.
bu dağılımın ortaya çıkmasının sürpriz yaratmaması gereği [1] verilerin logaritmalarinin geçerlilik alanlarına bakışla açıklanabilir. orijinal veri dağılımının bir mantis dağılımına indirgenmesi verimizin logaritma değerinin kesirsel tarafının dağılımının incelenmesine dönüştürülmüştür. bu dağılımın genişliği 0 ile 1 arasıdır. herhangi bir dağılımı bu türlü değiştirmenin sonucunda verinin kesirsel tarafının yaklaşık olarak bir tekdüze dağılım ortaya çıkaracağı kolayca görülebilir. (çünkü dağılımın kuyruğunun eğimleri 0-1 arasında eğim değerlerine dönüştürülmekte ve altaki ve üsteki kuyruktaki eğimler birbirini elimine etmektedirler.) logaritma değerinin kesirsel tarafının yaklaşık tekdüze dağılımı göstermesi doğrudan doğruya orijinal verilerin yaklaşık 1/x dağılımı göstermesinin karşılığıdır. bu doğal olarak, verilerin 1 ile 10 arasında bulunması olabilirliginin 1000 ila 10000 arasında olmasından daha büyük olmasına bakmadan uygulanabilir.
daha fazlası için:
http://tr.wikipedia.org/wiki/benford%27s_sav%c4%b1
#956446